¿Sabes qué significa realmente que una función sea continua? En este video del canal "Sergio Ruiz", te llevamos más allá de la idea de "no levantar el lápiz del papel" [00:09] para que domines la definición formal y entiendas por qué es tan crucial en el cálculo.

Para que una función f(x) sea continua en un punto a, debe cumplir estas tres condiciones [00:29]:

1. f(a) debe existir (no puede haber un agujero indefinido) [00:39].

2. El límite de f(x) cuando x tiende a a debe existir (los límites laterales por la izquierda y la derecha deben ser iguales) [00:46].

3. El límite y el valor de la función deben ser el mismo (lim f(x) = f(a)) [01:00].

Cuando una de estas reglas falla, tenemos una discontinuidad. Te enseñamos a identificar los tipos:

• Discontinuidad Evitable (o Removible): Hay un "agujero" en la gráfica que se podría "parchar" redefiniendo un solo punto [01:49].

• Discontinuidad Inevitable (o No Removible):

  • De Salto Finito: La gráfica "salta" de un valor a otro. Los límites laterales existen pero son diferentes [02:39].

  • De Salto Infinito: La gráfica se "dispara" hacia el infinito, generalmente en una asíntota vertical [03:19].

  • Esencial: El tipo más complejo, donde al menos un límite lateral ni siquiera existe [03:49].

• Permite modelar fenómenos del mundo real de forma predecible [05:09].

• Es la base del cálculo: una función debe ser continua para poder ser derivable [05:49].

• Es un requisito para teoremas poderosos como el Teorema del Valor Intermedio [07:09].

Además, repasamos qué tipos de funciones comunes (polinómicas, racionales, trigonométricas) son continuas y cómo analizar la continuidad en funciones a trozos [08:59, 10:09].

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